Kurt Diedrich
Primzahl-Lücken-Verteilung ohne Geheimnisse ? (Feb. 14, 2004 / Update 2)
Altes Problem - neue Methoden | Primzahllücken-Verteilung | Im Detail | Symmetrie | Lücken | Spaltentypische Perioden | Spaltenfremde Perioden | Linientreue | Offset | Transformation | Schlussbetrachtung | Kontakt | zurück
1 Altes Problem - neue Methoden
Schon während meiner lange zurückliegenden Schulzeit interessierte ich mich für
Primzahlen; genauer gesagt: Für die Frage, ob Primzahlen wirklich, wie man vermutet, eine
unregelmäßige Verteilung besitzen oder ein bisher nicht entdecktes Verteilungsmuster
aufweisen. Mit den heute zur Verfügung stehenden, leistungsfähigen PCs ist es relativ
einfach, in kurzer Zeit umfangreiche Berechnungen durchzuführen, für die ich damals
Monate gebraucht hätte. Grund genug für einen neuen Versuch! Bei meinen aktuellen
Untersuchungen bin ich auf geometrische Zusammenhänge gestoßen, die mir interessant
genug für eine Veröffentlichung an dieser Stelle erscheinen. Mögen sie zum Teil
auch auf dem bekannten "Sieb des Eratosthenes" beruhen: ihre hier beschriebene, grafische
Aufbereitung lässt die signifikanten Eigenschaften der Primzahl-Lücken
so deutlich hervortreten, wie es bei einer rein numerischen Betrachtung niemals möglich
wäre.
2 Primzahl-Lücken sind systematisch
verteilt
Ich möchte zunächst die Ergebnisse meiner Untersuchungen vorwegnehmen, um danach
für Interessierte zu erläutern, wie ich zu diesen Ergebnissen gelangt bin. Der "ketzerischen"
Frage in der Überschrift kann jeder, wenn er über genügend Zeit und Geduld verfügt,
selbst nachgehen, indem er zum Beispiel alle Zahlen von 1 bis 30 in eine Zeile schreibt und
dann mit der Zahl 31 in der zweiten Zeile fortfährt. Die dritte Zeile beginnt bei 61 und
so weiter. Bild 1 zeigt solch eine Zahlenmatrix, bei der alle Primzahlen durch rote "Kästchen"
dargestellt sind. Anschließend kann die auf diese Weise gezeichnete "Matrix"
anhand der im Folgenden aufgeführten Punkte überprüft werden:
Bild 1: Alle Primzahlen (rot markiert) befinden sich auf senkrechten Reihen, deren Positionen
eine Symmetrie zur Zahl 15 besitzen. Der Abstand nebeneinander liegender Zahlen ist 1; der
Abstand übereinander liegender Zahlen ist 30. Diese Darstellung ist auch als "Dreißiger-Stempel"
bekannt.
Beim Betrachten der Matrix aus Bild 1 findet man folgende Gesetzmäßigkeiten:
1. Alle Primzahlen (rot) liegen ausschließlich auf ganz bestimmten, senkrechten Reihen
(Spalten) unter den folgenden Zahlen: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Ausnahme: Die Zahlen 2,
3 und 5. Eine derartige Anordnung von Primzahlen ist auch als "Stempel" bekannt (z.B.:
www.devalco.de) und basiert letztendlich auf dem Sieb des
Eratosthenes. Die Zahl 2 fehlt übrigens als Primzahl in Bild 1, da sie als gerade Zahl
vom Computer-Berechnungsprogramm ignoriert wurde. Dies ist jedoch für alle weiteren Aussagen
nicht von Bedeutung.
2. Die obengenannten Spalten weisen eine Spiegelsymmetrie zur Mitte der Matrix (Im Beispiel
zur Zahl 15) auf.
3. Auch bei bestimmten, anderen "Umbruchzahlen" ergeben sich ähnliche Auffälligkeiten.
4. Nicht alle Zahlen auf den oben genannten Spalten sind Primzahlen. Die Spalten weisen "Lücken"
auf (weiß). Diese Lücken markieren demnach Zahlen, die keine Primzahlen sind.
5. Auf den ersten Blick sind diese Lücken völlig unregelmäßig verteilt.
Ihre Verteilung unterliegt jedoch einer präzise beschreibbaren Systematik. Es gelten folgende
Aussagen:
6. Auf der siebener Spalte ist in jeder siebten Zeile eine Lücke, auf der elfer Spalte
ist in jeder elften Zeile eine Lücke, auf der Dreizehner Spalte in jeder dreizehnten Zeile
usw. Damit sind natürlich nicht alle Lücken berücksichtigt. Es gilt weiterhin:
7. Auf allen in Frage kommenden Spalten (7, 11, 13, 17 usw.) sind weitere periodische Reihen
von Lücken vorhanden. Für jede Primzahl von 7 bis 29 existiert solch eine Periode.
Diese Perioden weisen jedoch einen Offset auf; das heißt: die Lücken beginnen in
einer Zeile, die nicht mit dem Periodenabstand identisch ist und setzen sich dann jedoch in
periodischen Abständen fort. Es gibt Lücken, die "gleichzeitig" zu mehreren
Reihen gehören.
8. Zeichnet man die periodischen Lücken, die einer bestimmten Primzahl (z.B. 7) entsprechen,
in allen Spalten (7, 11, 13 … 29 ) ein, so können diese durch parallele Geraden
verbunden werden. Auf diese Weise lassen sich alle Lücken und damit alle Primzahlen bis
etwa 1000 "mit Lineal und Bleistift" konstruieren, wenn man die auf die Primzahlen
(Perioden) 7 bis 29 bezogenen Lücken zweier Spalten kennt.
9. Dadurch ergibt sich folgende Kern-Aussage: Alle Zahlen P auf den Spalten 7, 11, 13 usw.
der gezeigten Matrix sind Primzahlen - mit Ausnahme einer in P enthaltenen Zahlenmenge A. Diese
Zahlenmenge A errechnet sich durch eine Überlagerung periodischer Reihen. Die Abstände
der Elemente dieser Reihen entsprechen wiederum den Primzahlen. Daraus folgt: Die Verteilung
der Primzahl-Lücken ist nicht chaotisch, sondern ergibt sich aus einer Überlagerung
von periodischen Auslöschungen, die auf die Menge der Zahlen P angewendet wird. Als Beispiel
wurde die Matrixbreite 30 gewählt.
Alle "Kästchen" in den Spalten 1, 7, 11, 13….29 in Bild 1 genügen
der Formel:
Primzahl + n*30 (Primzahl = Primzahl zwischen einschließlich 7 und 29, n = ganze, positive
Zahlen von 0 bis Unendlich)
Die Auslöschungen (weiße Kästchen in Bild 1) sind durch periodische Reihen
im Abstand:
Primzahl(7...29) + n* 30* Primzahl(7…beliebig hohe Primzahl) +
Offset
beschreibbar. Sind beide Primzahl-Indizes gleich (für Primzahlen bis 29), so ist der Offset
gleich der betreffenden Primzahl.
3 Im Detail
Für interessierte Leser hier nun eine detaillierte Beschreibung der Schritte, die zu
den oben aufgeführten Ergebnissen führten:
4 Symmetrie
Bild 1 wurde von einem Programm erzeugt, das in der Lage ist, alle Zahlen von 1 bis (vorläufig)
300000 mit beliebig wählbarem Zeilenumbruch darzustellen. Da es einzig und allein um ein
Muster und nicht um die Zahlen selbst geht, zeichnet das Berechnungsprogramm kleine Quadrate
und markiert dabei die Primzahlen und die Nicht-Primzahlen mit unterschiedlichen Farben.
Beginnt das Programm nach der Zahl 30 (im Folgenden als "Umbruchzahl" bezeichnet)
mit einer neuen Zeile, so gelten die oben aufgeführten Aussagen. Auffallend ist die Symmetrie
zur Spalte 15. Grundsätzlich funktionieren die hier beschriebenen Berechnungen auch bei
bestimmten, anderen Umbruchzahlen.
Bild 1a: Begriffsdefinitionen
5 Lücken
Zur Erforschung der Lücken auf der 30er-Matrix diente ein Programm, das die einzelnen
Spalten (Siehe Bild 1a: Begriffsdefinition) auf Periodizität untersuchte. Das Programm
betrachtet die Folge von roten und weißen Kästchen auf den Primspalten als ein unbekanntes
"Signal".
Bild 2: Vom Computer berechnete und gezeichnete Siebener-Periodizität der Spalte 7.
Das Aufaddieren erfolgte hier im doppelten Periodenabstand, um zusätzliche Informationen
über die Periodizität des Musters zu erhalten. Daher ergeben sich 14 statt 7 Säulen.
Um zum Beispiel zu überprüfen, ob die Zahl 0 (Lücke) in einer Reihe von Zahlen
in periodischen Abständen (z.B. 7) erscheint, addiert man zur Zahl an der ersten Stelle
der Reihe die Zahl an der achten, der fünfzehnten (usw.) Stelle der Reihe. Zur Zahl an
der zweiten Stelle der Reihe wird die Zahl an der neunten, sechzehnten (usw.) Stelle addiert.
Dieser Vorgang wird für ein möglichst hohe Zahl von Elementen der Reihe (im Beispiel
10000) durchgeführt.
Das Computerprogramm "scannte" nach dieser Methode die Spalten 7, 11, 13 (usw.) der
Matrix in vertikaler Richtung und notiert eine 1 für ein rotes, und eine 0 für ein
weißes Kästchen. Aus den gewonnenen Aufaddierungsergebnissen erzeugt das Programm
ein Säulendiagramm, wobei die Anzahl der Säulen der jeweils überprüften
Periodenlänge entspricht (siehe Bildunterschrift Bild 2).
Beim Scannen der Siebener-Spalte gilt zum Beispiel: Erscheint die Zahl 0 (weißes Kästchen)
wirklich an jeder siebten Stelle der Reihe, so wird der Wert der siebten Säule im Diagramm
stets Null bleiben. Alle anderen Säulen weichen von Null ab. Dies ist tatsächlich
der Fall. Das bedeutet:
Auf der in Bild 1 gezeigten Matrix enthält die unter der Zahl
7 stehende Spalte (Siebener-Spalte) an jeder siebten Stelle eine Lücke.
Zählen Sie selber nach (Bild 1): An den Positionen 7, 14, 21, 28 usw. (von oben gezählt
und mit 0 begonnen) befinden sich keine roten, sondern ausschließlich weiße Kästchen.
Natürlich enthält die Spalte noch weitere Lücken. Dies könnte also Zufall
sein. Betrachten wir daher den interessanteren Umkehrschluss: Es gibt keine einzige Position
auf der Siebener-Reihe auf Spalte 7 (Position 8, 15, 22 usw.), an der sich ein rotes
Kästchen (also eine Primzahl) befindet. Das bedeutet:
Die Zahlen 210+7, 210+210+7, 210+210+210+7 (und so weiter) sind keine Primzahlen (Ein Sprung
von sieben Zeilen entspricht einem realen Sprung von 210, da jede Zeile genau 30 Zahlen breit
ist).
Weiter verallgemeinert heißt dies:
Jede Zahl der Form n*210+7 ist keine Primzahl - oder anders ausgedrückt:
Jede Zahl der Form n*30*7+7 ist keine Primzahl (für n = ganze Zahlen von 1 bis Unendlich).
Mit diesen Formeln lassen sich zwar keine Primzahlen berechnen, aber man kann mit ihnen Primzahlen
ausschließen:
So ist zum Beispiel die Zahl 2107 keine Primzahl, da sie der Form n*210+7, genauer gesagt:
10*210+7 entspricht.
Man muss diese auf den ersten
Blick trivial erscheinenden Aussagen grafisch interpretieren, um ihre Bedeutung zu verstehen:
Sie dienen dazu, Ordnung in den „Lückendschungel“ zu bringen. Natürlich
können die numerischen Werte all dieser Lücken keine Primzahlen sein, da sie ein
Produkt darstellen! Doch erst wenn man diese Produkte auf ganz bestimmte, geometrische Weise
anordnet (Matrix) und Teile dieser Anordnung (Spalten) als Perioden betrachtet, wird eine regelmäßige
Struktur erkennbar.
6 Spaltentypische Perioden
Das Scannen der restlichen Spalten zeigte:
Auf allen anderen Spalten liegen ebenfalls Periodizitäten bei
den Lücken vor. Die Abstände entsprechen dem dreißigfachen der Spaltennummer
(Bild 3).
In Spalte 11 befindet sich zum Beispiel an jeder elften Position eine Lücke usw. Diese
Lücken werden im Folgenden als "spaltentypisch" bezeichnet.
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Bild 3: Auf den Primzahl-Spalten 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 befinden sich Lücken in periodischen Abständen (blau markiert), wobei die Abstände auf den jeweiligen Spalten gleich dem mit 30 multiplizierten Wert der Spaltennummer entsprechen (Spalte 7: Periodenlänge 30 * 7 = 210, Spalte 11: Periodenlänge 30 * 11 = 330 usw.). |
Neben den in Bild 3 gezeigten, "spaltentypischen" Lücken gibt es weitere
Lücken. Um die Ursache dieser Lücken zu klären, kann man folgende Frage stellen:
Liegt die zu Anfang gefundene Siebener-Periodizität auch auf anderen Spalten vor?
Dies ist tatsächlich der Fall. Diese Siebener-Periodizität ist allerdings nicht ganz
einfach zu erkennen, da sie in allen Spalten außer in Spalte 7 einen Offset, also eine
Verschiebung um eine bestimmt Zahl, besitzt. Sie wird daher in allen Spalten außer Spalte
7 als "spaltenfremd" bezeichnet. Auch der spaltenfremde Offset kann aus dem mit dem
oben beschriebenen Programm erzeugten Balkendiagramm ermittelt werden. Er entspricht ganz einfach
der Position des ersten fehlenden (leeren) Balkens. Bild 4 zeigt das Diagramm der Computer-berechnung
(Aufsummierung) für die Siebener-Periode auf der Einer-Spalte. In Bild 5 sind die Siebener-Perioden
aller Prim-Spalten zu sehen.:
Bild 4: Die Siebener-Periode auf der Einer-Spalte beginnt in der vierten Zeile.
8 "Linientreue"
In der Tat findet sich also in jeder Prim-Spalte eine Siebener-Periodizität, die einen
Offset, also eine Verschiebung, besitzt. Auffällig an Bild 5 ist folgende Tatsache:
Die Offsets der einzelnen Spalten sind so beschaffen, dass die blauen Markierungen (Bild 5)
durch eine Gerade verbunden werden können.
Das bedeutet: Aus der ersten blauen Markierung auf einer Spalte und aus der ersten
blauen Markierung auf der benachbarten Spalte lassen sich rein geometrisch mit Bleistift und
Lineal (und natürlich auch rechnerisch) alle anderen blauen Markierungen konstruieren.
Das bedeutet:
Nicht-Primzahlen im Abstand 7*30 (Die Siebener-Lücken auf den Spalten) lassen sich grafisch
auf einfache Weise ermitteln.
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Bild 5: Auch auf allen anderen Spalten außer Spalte 7 gibt es Periodizitäten von Nicht-Primzahlen im Abstand 7. Diese Perioden beginnen jedoch nicht bei Null, sondern besitzen einen Offset, der bei jeder Spalte einen unterschiedlichen Wert aufweist. |
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Bild 6: Auch die 11er-Periodizität erscheint auf allen Prim-Spalten
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Bild 6 verdeutlicht, dass auch die in Spalte 11 auftretenden,
periodischen Lücken auf allen anderen Spalten erscheinen und ebenfalls durch parallele
Geraden verbunden, bzw. konstruiert werden können. Bei Bild 6 war übrigens
eine andere Darstellung erforderlich, damit die Schnittpunkte der Geraden deutlicher
erkannt werden: Zahlen werden hier nicht durch "Kästchen", sondern durch
Schnittpunkte horizontaler und vertikaler Linien dargestellt. Die gelben Markierungen
stellen Primzahlen dar, die blauen Markierungen repräsentieren die Lücken.
Die Grafik wurde von einem Computerprogramm berechnet und gezeichnet und verdeutlicht,
dass die beschriebene Regelmäßigkeit mindestens bis Zahlen über 1500
gilt. Auch die Perioden 13, 17, 19, 23 und 29 sind in allen Spalten vorhanden und besitzen dabei, außer auf ihren "eigenen" Spalten, einen Offset. |
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Bild 7: Alle Linien in einem Diagramm |
Zeigt man alle Linien, die möglich sind, in einem einzigen Diagramm, so wird das Bild unüberschaubar. Bild 7 zeigt einen Ausschnitt aus einem Diagramm, bei dem alle Linien aller Perioden eingezeichnet wurden. Es ist leicht zu erkennen, wie unübersichtlich die Darstellung dadurch wird. Hier sind die Nicht-Primzahlen (Ausnahmen) rot markiert. Welche Matrix-Punkte werden verbunden ? |
Es bleibt die Frage, ob auch der Offset der verschiedenen Geraden nicht einfachen Gesetzen
gehorcht oder auffällige Merkmale aufweist. Auf den ersten Blick scheint er für die
einzelnen Geraden völlig willkürliche Werte aufzuweisen (Bild 5 und 6).
Stellt man die Offsets jedoch statt auf der 30er-Matrix auf dem eindimensionalen Zahlenstrahl
dar (Siehe Abschnitt 10), so ergibt sich eine einfache Regel:
Die Offsets der Siebener-Perioden auf den einzelnen Spalten entsprechen dem Produkt aus 7 und den Primzahlen von 1 bis 29:
1*7, 7*7, 11*7, 13*7 usw.
Die Offsets der Elfer-Perioden auf den einzelnen Spalten entsprechen dem Produkt aus 11 und
den Primzahlen von 1 bis 29:
1*11, 7*11, 11*11, 13*11 usw.
In analoger Weise gilt dies auch für alle weiteren Primzahlen.
10 Transformation auf den Zahlenstrahl
Primzahl-Lücken finden mit "Dehnungs-Rastern"
Umwege sind manchmal sehr nützlich: Die oben beschriebenen Zusammenhänge habe ich erst durch das Experimentieren mit der "Dreißiger-Matrix" gefunden. Doch erst als ich keine Lösung für die scheinbar völlig unregelmäßigen Offset-Werte fand, transformierte ich die bisherigen Ergebnisse auf den eindimensionalen, linearen Zahlenstrahl und gelangte dadurch zu ganz klaren und einfachen Erkenntnissen:
Überträgt man die Primzahl-Lücken unter Beachtung der bei der 30er-Matrix vorliegenden Zusammenhänge auf den linearen, eindimensionalen Zahlenstrahl, so ergibt sich folgendes Gesamtergebnis aller obigen Ausführungen:
1. Das Verteilungsmuster der Primzahlen von 1 bis 30 (ausgenommen 2, 3 und 5), im Folgenden als "Basisraster" bezeichnet, kann lückenlos bis ins Unendliche aneinandergereiht werden und markiert alle Stellen auf dem Zahlenstrahl, auf denen "Primzahlkandidaten" vorzufinden sind. Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann muss sie auf diesem Raster liegen. Merkwürdigerweise führt uns dabei auch das Produkt der "Ausnahme-Primzahlen" 2, 3, 5, die nur beim ersten Verteilungsmuster von 0 bis 30 auftreten, zur Zahl 30.
2. Zahlen auf diesem so entstandenen "Basis-Raster", die keine Primzahlen sind (Primzahl-Lücken), können wie folgt ermittelt werden:
a) Das "Basis-Raster" wird um den Faktor 7 (erste* Primzahl) gedehnt. Das bedeutet: Jede Zahl des Basis-Rasters wird mit 7 multipliziert.
* Die Zahlen 2, 3 und 5 sind im Sinne der hier durchgeführten Betrachtungen keine "echten" Primzahlen, da sie nur im ersten Basisraster erscheinen.
Das neu entstandene Raster markiert Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die keine Primzahlen sind und wiederholt sich in Schritten von 7*30 = 210. Diese Zahlen liegen gleichzeitig auch auf dem oben beschriebenen Basisraster.b) Das "Basis-Raster" wird um den Faktor 11 (zweite Primzahl) gedehnt. Das bedeutet: Jede Zahl des Basis-Rasters wird mit 11 multipliziert. Das neu entstandene Raster markiert weitere Zahlen auf dem Basis-Raster bzw. Zahlenstrahl, die keine Primzahlen sind und wiederholt sich in Schritten von 11 * 30 = 330.
c) Dieser Vorgang kann bis ins Unendliche für alle Primzahlen wiederholt werden.
3. Die Markierungen der ersten Basis-Raster-Einheit (7 bis 29) bilden eine Ausnahme und entsprechen den Primzahlen selbst - es handelt sich hier also nicht um Primzahl-Lücken.
4. Sind alle Primzahlen bis zur Primzahl n bekannt, so lassen sich mit der oben beschriebenen Rastermethode mindestens alle weiteren Primzahlen bis zur Obergrenze n*7 bestimmen, da unter dem Wert von n keine Markierungspunkte liegen, die sich auf das bisherige Überlagerungsergebnis auswirken könnten.
5. Obige Ausführungen zeigen, dass die Verteilung der Primzahl-Lücken selbstähnlich ist: Multiplikationen eines Primzahlkandidaten-Basis-Rasters mit Faktoren, die den Primzahlen entsprechen, markieren die Zahlen auf dem Basis-Raster, die keine Primzahlen darstellen. Das Basis-Raster stellt dabei, wie gesagt, eine unendliche Aneinanderreihung des Musters der Primzahlenverteilung zwischen 1 und 30 dar.
Bild 8: Das aus Bild 1 bekannte Verteilungsmuster der Primzahlen bis 30 (oben links) kann auf dem linearen Zahlenstrahl bis ins Unendliche aneinandergereiht werden. Zur besseren Erkennung der einzelnen Raster-Einheiten wurden diese mit unterschiedlichen Farben markiert. Wird dieses Muster (wie ein Gummiband) um den Faktor einer Primzahl (z.B. 7) "gedehnt" (zweites Zahlenband von oben 2), so markiert es Primzahl-Lücken auf dem Basismuster (erstes Zahlenband). Bei weiteren "Dehnungen" um einen Faktor, der den aufsteigenden Primzahlen entspricht, werden weitere Primzahl-Lücken auf dem Zahlenstrahl markiert. Jedes hinzugekommene Dehnungsmuster erlaubt eine Ermittlung weiterer Primzahlen bis zu einer Grenze, die dem 7-fachen des "Dehnungsfaktors" entspricht.
Bild 9: Wenn man sich die um den Wert einer Primzahl gedehnten Bänder aus Bild 8 transparent vorstellt und weiterhin annimmt, dass es sich bei den darauf angeordneten Markierungen um undurchsichtige Striche handelt, findet man die Primzahl-Lücken durch Übereinanderschieben aller gedehnten Bänder. Die schwarzen Striche im unteren Bildbereich markieren die verdeckten roten Primzahlkandidaten des Basismusters, die keine Primzahlen sind.
Mathematische Formulierung
Alle Zahlen des Basisrasters (Primzahl-Kandidaten) genügen den Gleichungen:
1 + n*30; 7 + n*30; 11 + n*30; 13 + n*30; 17 + n*30; 19 + n*30; 23 + n*30; 29 + n*30 (n = 0 bis Unendlich)
Das heißt: Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann kann sie nur ein Element dieser Folge sein.
Die Markierungen aller Primzahl-Lücken ergeben sich aus den Gleichungen:
1 + n*30 * Primzahl; 7 + n*30 * Primzahl; 11 + n*30 * Primzahl; 13 + n*30
* Primzahl; 17 + n*30 * Primzahl; 19 + n*30 * Primzahl;
23 + n*30 * Primzahl; 29 + n*30 * Primzahl (n = 1 bis Unendlich, Primzahl = alle Primzahlen
von 7 bis Unendlich)
11 Schlussbetrachtung
und Folgerungen
Die in diesem Beitrag beschriebenen Erkenntnisse lassen den Schluss zu, dass sich Primzahl-Lücken auf rein "mechanische" Weise zum Beispiel durch ein einfaches Computerprogramm oder sogar durch eine mechanische, nicht intelligente Maschine bestimmen lassen. Bedeutet dies gleichzeitig, dass die Primzahl-Lücken-Verteilung und damit die Verteilung der Primzahlen völlig einfachen Gesetzen gehorcht?
Was die Bestimmung der Lücken anbetrifft, so müssen sowohl bei der zu Anfang beschriebenen Methode des Linien-Zeichnens als auch bei der "Dehnungs-Methode" alle Primzahlen bis 29 bereits bekannt sein, um alle Lücken bis ins Unendliche daraus abzuleiten. Auch eine "dumme" Maschine zur Bestimmung aller Primzahl-Lücken muss daher alle Primzahlen von 7 bis 29 bereits kennen. Ich bin daher der Auffassung, dass die Verteilung der Primzahl-Lücken, wohlgemerkt unter diesen Voraussetzungen, kein Geheimnis darstellt und einfachen Gesetzen genügt.
Die Bestimmung aller Primzahlen durch einfaches "Wegstreichen" aller Nicht-Primzahlen (durch oben beschriebene Methoden ermittelt) auf dem Zahlenstrahl ist jedoch noch lange kein Algorithmus zur Bestimmung der Primzahlen, da es sich um eine indirekte Methode handelt. Erst eine Methode, die unmittelbar und direkt eine durch eine Formel beschreibbare Verteilung der Primzahlen liefert, würde den Nachweis einer systematischen Verteilung der Primzahlen liefern; eine Formel, in welcher die Verteilung der Nicht-Primzahlen (Primzahl-Lücken) erst gar nicht vorkommen müsste. Solch eine Formel existiert jedoch bis heute nicht.
Zum Schluss dieses Beitrags sei ein Vergleich mit der legendären Mandelbrotfigur erlaubt: Sie ist zwar bereits in den durch den betreffenden Algorithmus errechneten Zahlen enthalten; erschließt sich uns jedoch in ihrer Schönheit erst beim Betrachten des aus diesen Zahlen konstruierten, geometrischen Abbildes. Auf die Primzahl-Lücken übertragen bedeutet dies: Natürlich müssen die Primzahl-Lücken rein rechnerisch so verteilt sein, wie in diesem Beitrag beschrieben. Aber erst die grafische Veranschaulichung dieser Rechen-Exempel lässt uns besser als jede Formel und jede Zahlenkolonne erahnen, welche Ästhetik nicht zuletzt auch in der Mathematik der Primzahlen verborgen ist.
Bild 10: Pixel statt Kästchen: Eine Matrix mit einer Umbruchzahl von
beispielsweise 419 erzeugt Muster aus sich kreuzenden Diagonalen.
Alle Primzahlen sind weiß dargestellt.
Bei Fragen, Anregungen, Vorschlägen, Kritiken und Bug-Reports schickt mir bitte eine E-Mail (kurt.diedrich@tele2.de)